Álgebra lineal Ejemplos

$(3) [\begin{array}{c} 260 & 1 & 1 \\ 255 & 3 & 0 \\ 435 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $3$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 3 \cdot 260 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 2.1

Multiplica $3$ por $260$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $255$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica $3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $435$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 & 12 \end{array}]$

Paso 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Paso 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 3.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} |$

Paso 3.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} |$

Paso 3.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} |$

Paso 3.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} |$

Paso 3.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

Paso 3.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

Paso 3.9

Add the terms together.

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

Paso 4

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$ .

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Paso 5

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} |$ .

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 765 (3 \cdot 12 - 3 \cdot 3) + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $3$ por $12$ .

$- 765 (36 - 3 \cdot 3) + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- 765 (36 - 9) + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.2

Resta $9$ de $36$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Paso 6

Evalúa $| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} |$ .

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Paso 6.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 (780 \cdot 12 - 1305 \cdot 3) + 0$

Paso 6.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $780$ por $12$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 (9360 - 1305 \cdot 3) + 0$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1305$ por $3$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 (9360 - 3915) + 0$

Paso 6.2.2

Resta $3915$ de $9360$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 \cdot 5445 + 0$

Paso 7

Simplifica el determinante.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 765$ por $27$ .

$- 20655 + 9 \cdot 5445 + 0$

Paso 7.1.2

Multiplica $9$ por $5445$ .

$- 20655 + 49005 + 0$

Paso 7.2

Suma $- 20655$ y $49005$ .

$28350 + 0$

Paso 7.3

Suma $28350$ y $0$ .

$28350$